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刚开始只是淡淡提起，不知不觉已这么热切

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f r a m e h o u s e | 刚 开 始 只 是 淡 淡 提 起 ， 不 知 不 觉 已 这 么 热 切 f r a m e h o u s e 刚 开 始 只 是 淡 淡 提 起 ， 不 知 不 觉 已 这 么 热 切 首 页 u r a l f r a m e h o u s e 2 0 1 9 年 2 月 7 日 0 C o m m e n t s C a t e g o r i e s : d p u r a l 1 4 5 2 大 意 ： 在 数 组 s 中 找 到 最 大 升 序 等 差 数 列 做 法 ： 1 、 当 s 中 所 有 数 字 相 等 时 ， 答 案 为 1 ， 先 排 除 这 种 情 况 2 、 要 求 升 序 ， 所 以 先 对 数 组 u n q u i e 去 重 （ 不 去 重 容 易 写 错 ） 3 、 参 考 s [ i ] , s [ j ] , s [ k ] 为 若 等 差 数 列 ( 0 d p [ j ] [ k ] = 2 I F s [ j ] ! = s [ k ] d p [ j ] [ k ] = d p [ i ] [ j ] + 1 I F s [ i ] + s [ k ] = 2 * s [ j ] 固 定 j ， 搜 索 满 足 条 件 的 i ， k 方 法 如 下 f o r j i n s ： i = j 1 k = k + 1 w h i l e i > = 0 a n d k 2 * s [ j ] : i e l s e : k + + p . s . 一 开 始 尝 试 了 另 一 个 做 法 ， d p [ i ] [ d ] 表 示 s [ i ] 为 结 尾 ， 公 差 为 d 的 最 大 升 序 等 差 数 列 长 度 。 d p [ i ] [ s [ i ] s [ j ] ] = m a x ( d p [ j ] [ s [ i ] s [ j ] ] + 1 ) 。 这 个 做 法 同 样 的 o ( n ^ 2 ) 的 时 间 复 杂 度 ， 可 能 是 因 为 m a p 的 缘 故 ， 被 卡 了 T L E s o u r c e f r a m e h o u s e 2 0 1 8 年 9 月 3 0 日 0 C o m m e n t s C a t e g o r i e s : g r a p h u r a l 1 8 3 7 大 意 ： 集 训 队 有 一 个 大 佬 ， 有 N 个 组 队 记 录 ， 求 大 佬 的 一 度 好 友 ， 二 度 好 友 … 依 次 做 法 ： b f s 水 题 。 纯 粹 是 为 了 练 练 g o ， 以 及 工 作 一 年 没 更 新 b l o g 了 … s o u r c e f r a m e h o u s e 2 0 1 7 年 1 0 月 1 4 日 2 C o m m e n t s C a t e g o r i e s : d p u r a l 1 6 2 7 大 意 ： 一 个 n * m 的 方 阵 （ n , m 做 法 ： 一 种 做 法 是 对 于 生 成 树 计 数 问 题 有 专 门 的 图 论 公 式 ， 自 行 网 络 搜 索 本 题 题 解 ， 网 上 的 都 是 这 种 做 法 。 另 一 种 做 法 是 基 于 连 通 性 的 状 态 压 缩 d p （ 俗 称 插 头 d p ） ， 可 以 看 我 的 这 篇 b l o g 做 的 笔 记 结 合 论 文 学 习 。 本 题 借 用 插 头 d p 轮 廓 线 的 概 念 ， 递 推 到 第 （ i ， j ） 格 子 ， 轮 廓 线 为 （ i ， 1 ） （ i ， j 1 ） 和 （ i 1 ， j ） （ i 1 ， m ） 两 条 线 的 组 合 。 状 态 记 录 线 上 每 个 格 子 的 连 通 分 量 号 ， 墙 用 0 表 示 ， 例 如 . * . . * , 状 态 c o d e 有 两 种 状 态 为 和 . 点 号 状 态 转 移 ： 注 意 如 果 上 方 格 子 （ i 1 ， j ） 是 一 个 单 独 的 连 通 分 量 ， 则 必 须 向 上 方 连 线 。 c a s e 1 ： 向 左 边 连 线 。 修 改 c o d e [ j ] = c o d e [ j 1 ] 。 注 意 如 果 不 想 上 连 线 ， 需 判 断 （ i 1 ， j ） 不 能 自 己 是 个 单 独 的 连 同 分 量 ， c a s e 2 ： 向 上 边 连 线 。 此 时 c o d e 不 变 。 c a s e 3 ： 向 左 、 上 都 连 线 。 此 时 将 所 有 和 j 一 个 连 通 分 量 的 格 子 c o d e 值 赋 c o d e [ j 1 ] c a s e 4 ： 不 连 线 。 c o d e [ j ] = 1 0 。 连 同 分 量 编 号 最 大 为 9 ， 赋 值 1 0 表 示 （ i ， j ） 格 子 变 成 一 个 新 的 连 通 分 量 。 重 新 调 整 c o d e 编 号 星 号 状 态 转 移 ： 上 方 格 子 （ i 1 ， j ） 不 能 是 一 个 单 独 的 连 通 分 量 c o d e [ j ] = 0 重 新 调 整 c o d e 编 号 其 他 细 节 ： 对 于 这 样 的 c a s e ： 2 2 . . . * * * 要 把 末 尾 全 是 * 号 的 行 忽 略 考 虑 ， 否 则 在 星 号 格 子 ( 2 , 3 ) 状 态 转 移 时 ， 会 发 现 上 方 格 子 是 一 个 单 独 连 同 分 量 而 忽 略 合 法 状 态 。 s o r c e f r a m e h o u s e 2 0 1 7 年 1 0 月 7 日 0 C o m m e n t s C a t e g o r i e s : d p u r a l 1 7 3 9 大 意 ： 从 一 个 花 园 里 偷 n 朵 花 （ n 做 法 ： 状 态 压 缩 d p 。 d p [ s ] [ k ] [ l ] 表 示 花 园 里 花 的 状 态 ， k 和 l 表 示 是 否 使 用 了 加 气 或 减 气 。 最 直 接 的 想 法 ， 状 态 s 向 子 状 态 s ’ 转 移 ， k 和 l 可 以 减 1 。 判 断 这 个 操 作 是 不 是 可 行 ， 然 后 再 枚 举 放 回 （ r e t u r n ） 后 新 的 花 园 的 状 态 。 但 是 直 接 枚 举 s 的 子 状 态 ， 子 状 态 s ’ 的 数 量 是 和 s 一 致 的 。 复 杂 度 大 致 是 ( 2 ^ 1 2 ) * 2 * 2 * ( 2 ^ 1 1 ) * ( 2 ^ 1 0 ) , 1 秒 时 限 感 觉 够 呛 。 一 个 优 化 点 是 先 枚 举 出 所 有 可 以 被 2 5 6 整 除 的 状 态 ， 然 后 判 断 s ’ 是 不 是 s 的 子 状 态 ， 保 存 在 s t a t e s [ i ] [ j ] 中 。 这 样 复 杂 度 变 为 ( 2 ^ 1 2 ) * 2 * 2 * K * ( 2 ^ 1 0 ) ， K 是 所 有 和 为 2 5 6 倍 数 的 状 态 数 。 实 际 中 这 个 状 态 数 是 比 较 小 的 。 s o u r c e f r a m e h o u s e 2 0 1 6 年 1 2 月 2 9 日 0 C o m m e n t s C a t e g o r i e s : d a t a s t r u c t u r e u r a l 1 8 9 5 大 意 ： 有 n 个 顾 客 要 吃 牛 排 ， 要 给 第 i 个 顾 客 在 t i 时 刻 上 牛 排 。 牛 排 要 烤 两 面 ， 每 面 用 1 分 钟 。 烤 第 一 面 的 时 刻 和 t i 时 刻 之 间 的 差 不 能 超 过 x 。 炉 子 有 k 个 位 置 ， 如 果 一 个 都 不 烤 ， 这 1 分 钟 就 关 火 。 问 炉 子 完 成 需 求 的 最 短 开 火 时 间 。 做 法 ： 注 意 不 是 问 最 快 烤 完 时 间 ， 而 是 问 最 短 开 火 时 间 。 先 将 牛 排 按 照 时 间 排 序 。 d p [ t ] [ n 1 ] [ n 2 ] 表 示 在 t 时 刻 有 n 1 块 已 经 烤 了 一 面 ， n 2 块 一 面 还 没 烤 。 两 条 贪 心 的 原 则 ： 1 、 如 果 牛 排 1 先 于 牛 排 2 ， 那 么 无 论 烤 第 一 面 还 是 第 二 面 牛 排 1 都 一 定 先 于 牛 排 2 。 所 以 [ n n 1 n 2 + 1 , n n 2 ] 是 烤 了 一 面 的 ， [ n n 2 + 1 , n ] 是 一 面 都 还 没 烤 的 。 2 、 如 果 t 时 刻 开 炉 子 ， 那 么 应 该 尽 量 把 k 个 位 置 用 满 。 所 以 ， 如 果 t 时 刻 不 开 炉 子 状 态 ( t , n 1 , n 2 ) ( t + 1 , n 1 , n 2 ) 。 如 果 t 时 刻 开 炉 子 ， 烤 n n 1 块 已 经 烤 了 一 面 的 ， 烤 n n 2 一 面 还 没 烤 的 。 n n 1 + n n 2 = m i n ( k , m a x _ n n 1 + m a x _ n n 2 ) 。 状 态 ( t , n 1 , n 2 ) ( t + 1 , n n 1 , n n 2 ) s o u r c e f r a m e h o u s e 2 0 1 6 年 1 2 月 2 3 日 0 C o m m e n t s C a t e g o r i e s : d p u r a l 1 6 5 5 大 意 ： n （ n 做 法 ： 先 将 点 按 照 角 度 排 序 。 定 义 d p [ i ] [ j ] [ f ] 。 d p [ i ] [ j ] [ 0 ] 表 示 从 完 成 i j 顺 时 针 的 一 侧 所 用 时 间 ， d p [ i ] [ j ] [ 1 ] 表 示 i j 逆 时 针 的 一 侧 所 用 时 间 。 i j 状 态 可 以 转 移 到 i j + 1 和 j i 1 。 c a s e 1 , f = = 0 , 即 当 前 是 顺 时 针 ： c a s e 1 . 1 , i j + 1 , 方 向 继 续 是 顺 时 针 : 用 时 ( b ( j + 1 ) b ( i ) + 3 6 0 ) % 3 6 0 c a s e 1 . 2 , j i 1 , 方 向 转 成 逆 时 针 : 用 时 ( b ( j ) b ( i 1 ) + 3 6 0 ) % 3 6 0 c a s e 1 , f = = 1 , 即 当 前 是 逆 时 针 ： c a s e 1 . 1 , i j + 1 , 方 向 继 续 是 逆 时 针 : 用 时 ( b ( i ) b ( j + 1 ) + 3 6 0 ) % 3 6 0 c a s e 1 . 2 , j i 1 , 方 向 转 成 顺 时 针 : 用 时 ( b ( i 1 ) b ( j ) + 3 6 0 ) % 3 6 0 在 转 移 时 还 要 判 断 到 达 改 点 时 ， 是 否 海 盗 船 已 经 近 身 ： d / ( v / 6 0 ) * w * 3 6 0 > = t i m e 这 个 题 可 能 会 有 精 度 上 的 一 些 坑 ， 对 于 精 度 处 理 我 一 直 是 乱 搞 … 这 个 题 说 最 多 三 位 小 数 ， 于 是 我 就 把 所 有 数 都 乘 了 1 0 0 0 然 后 按 照 整 型 处 理 。 p . s . 所 有 海 盗 船 角 度 要 先 减 a ， 转 化 成 a = 0 的 坐 标 体 系 。 三 次 w a 都 是 这 个 把 这 个 忘 了 … 以 为 是 精 度 处 理 的 问 题 呢 。 s o u r c e f r a m e h o u s e 2 0 1 6 年 1 2 月 2 1 日 0 C o m m e n t s C a t e g o r i e s : d p u r a l 1 2 6 7 大 意 ： 一 条 直 线 型 的 地 铁 ， 线 路 上 有 N 个 站 （ 1 注 意 ： 1 、 游 客 想 要 游 览 一 个 站 ， 需 要 下 车 ， 游 览 时 间 1 分 钟 。 2 、 游 客 可 以 选 择 任 意 时 间 出 发 ， 计 算 时 间 从 第 一 次 上 车 开 始 。 3 、 游 客 不 游 览 始 发 站 ， 那 个 1 分 钟 不 用 算 。 做 法 ： 状 态 压 缩 d p 求 哈 密 顿 回 路 。 虽 然 到 的 早 了 可 能 还 要 等 车 ， 但 是 到 达 每 一 个 站 的 时 间 还 是 越 早 越 好 。 d i s t [ i ] [ j ] 表 示 i , j 两 点 行 驶 时 间 ， 可 以 预 处 理 得 到 。 d p [ s t ] [ p ] 表 示 在 已 经 到 达 的 车 站 状 态 s t ， 当 前 所 在 p 站 所 使 用 时 间 。 n s t 表 示 下 一 个 状 态 ， n p 表 示 下 一 个 要 到 达 的 车 站 。 d p [ n s t ] [ n p ] = m i n ( d p [ s t ] [ p ] + 1 分 钟 游 览 + 等 车 时 间 + d i s t [ p ] [ n p ] ) 这 道 题 比 较 关 键 的 就 是 计 算 等 车 时 间 是 多 少 。 s [ i ] [ 0 ] = ( d i s t [ 1 ] [ i ] + m 1 ) % i v s [ i ] [ 1 ] = ( d i s t [ N ] [ i ] + m 2 ) % i v 如 果 模 型 是 一 个 有 一 天 i v 小 时 的 表 ， 那 么 s [ i ] [ 0 ] 就 是 每 天 从 左 往 右 的 列 车 到 达 i 站 的 时 间 ， s [ i ] [ 1 ] 是 从 右 往 左 。 一 个 2 4 小 时 表 上 ， 时 刻 A 到 时 刻 B 经 过 的 时 间 公 式 是 ( t ( B ) t ( A ) + 2 4 ) % 2 4 。 在 这 个 题 目 中 ， 判 断 等 车 时 间 需 要 记 录 原 来 车 的 方 向 ， 然 后 综 合 将 要 坐 的 车 的 方 向 ， 用 这 个 时 钟 的 模 型 计 算 等 待 时 间 。 我 用 p a t h [ s t ] [ p ] 来 记 录 上 一 个 站 点 ， 这 样 就 可 以 判 断 方 向 了 。 p . s . 考 虑 到 有 一 分 钟 的 游 览 。 所 以 实 际 等 车 时 间 w a i t _ t i m e = ( w a i t _ t i m e 1 + i v ) % i v 。 如 果 刚 下 车 的 对 面 的 车 同 时 来 了 ， 游 览 完 后 你 是 要 等 下 一 班 车 的 。 最 后 在 d p [ 1 1 1 … 1 1 ] [ i ] 中 计 算 到 出 发 点 的 最 短 时 间 即 可 。 s o u r c e f r a m e h o u s e 2 0 1 6 年 1 2 月 2 0 日 0 C o m m e n t s C a t e g o r i e s : d p u r a l 1 4 5 9 大 意 ： N * M （ 2 ≤ N ≤ 5 ; 2 ≤ M ≤ 1 0 ^ 9 ） 的 棋 盘 , 问 从 右 上 出 发 的 有 向 回 路 数 。 做 法 ： 就 是 看 了 这 道 d p l i s t 上 的 题 才 去 学 习 的 插 头 d p （ u r a l 1 5 1 9 这 道 论 文 题 并 不 在 l i s t 上 ） 。 这 道 题 需 要 按 行 递 推 ， 按 行 递 推 两 行 之 间 的 状 态 转 移 系 数 ， 形 成 一 个 转 移 矩 阵 F ， 倒 数 第 二 行 的 分 布 X = X F ^ ( N 1 ) . 这 个 步 骤 使 用 快 速 幂 实 现 。 先 算 到 倒 数 第 二 行 是 因 为 最 后 一 行 最 后 一 格 的 转 移 和 前 面 不 同 ， 所 以 最 后 一 行 再 单 独 按 格 递 推 即 可 。 可 行 状 态 的 确 定 ， 可 以 从 状 态 0 开 始 b f s 搜 索 ， 实 际 N = 5 时 候 行 状 态 集 也 只 有 2 0 个 。 按 行 递 推 的 写 法 可 以 套 用 按 格 递 推 ， 设 置 好 初 始 轮 廓 线 按 格 递 推 一 列 ， 得 到 的 就 是 上 一 行 可 递 推 出 的 行 状 态 。 p . s . n o c o w 上 有 一 个 直 接 观 察 出 来 递 推 式 的 玄 学 做 法 O r z l i n k s o u r c e f r a m e h o u s e 2 0 1 6 年 1 2 月 2 0 日 0 C o m m e n t s C a t e g o r i e s : d p u r a l 1 5 1 9 大 意 ： 一 个 N * M ( 2 ≤ N , M ≤ 1 2 ) 的 棋 盘 , ‘ . ’ 表 示 可 行 ， ‘ * ’ 表 示 不 可 行 的 点 。 有 多 少 种 无 向 回 路 。 做 法 ： 陈 丹 琦 《 基 于 连 通 性 状 态 压 缩 的 动 态 规 划 问 题 》 里 的 经 典 论 文 题 。 这 道 题 前 人 之 述 备 矣 ， 这 篇 论 文 我 断 断 续 续 看 了 一 个 月 。 借 着 此 题 记 录 一 下 我 认 为 比 较 理 解 插 头 d p 比 较 关 键 的 地 方 。 1 、 插 头 一 个 格 子 有 两 个 插 头 ， 一 进 一 出 。 2 、 按 格 递 推 轮 廓 线 如 果 有 j 列 格 子 ， 那 么 轮 廓 线 长 度 为 j + 1 ， 包 括 j 条 横 线 和 1 条 竖 线 。 如 果 第 一 个 格 子 从 1 标 号 ， 那 么 那 条 竖 线 的 位 置 是 j 1 。 3 、 最 小 表 示 法 j + 1 个 插 头 ， 每 个 插 头 用 一 个 数 字 表 示 插 头 的 所 在 的 连 通 分 量 。 4 、 状 态 转 移 （ 关 键 ） 记 w 为 插 头 所 在 的 连 通 分 量 ， w = 0 表 示 没 有 插 头 。 c a s e 1 ： 若 w ( p ) > 0 , w ( q ) > 0 , 即 有 格 子 有 上 插 头 和 左 插 头 。 该 情 况 把 p 所 在 的 分 量 和 q 所 在 分 量 合 并 。 c a s e 1 . 1 ： 若 w ( p ) = = w ( q ) , 即 p , q 在 同 一 个 连 通 分 量 。 此 时 形 成 了 一 个 环 路 ， 该 情 况 只 能 在 最 右 下 角 的 可 行 格 成 立 c a s e 1 . 2 ： 若 w ( p ) ! = w ( q ) , 把 p , q 连 通 分 量 合 并 。 c a s e 2 ： 若 w ( p ) | | w ( q ) , 即 格 子 左 插 头 和 上 插 头 只 有 其 中 一 个 ， 此 时 p ’ 或 q ’ 选 择 其 一 。 该 情 况 新 插 头 继 承 了 p 或 q 的 连 通 分 量 。 c a s e 3 ： w ( p ) = = 0 , w ( q ) = = 0 , 即 同 时 没 有 左 插 头 和 右 插 头 。 此 时 下 插 头 和 右 插 头 同 时 存 在 ， p ’ 和 q ’ 连 成 一 个 新 的 连 通 分 量 。 p . s . 换 行 时 的 转 移 ： 换 行 时 ， 竖 线 从 最 右 移 到 了 最 左 。 所 以 把 状 态 向 右 移 一 位 即 可 。 5 、 代 码 代 码 写 法 来 自 k u a n g b i n 的 b l o g ， 小 的 区 别 是 没 有 手 写 记 录 状 态 答 案 的 哈 希 表 ， 用 了 c + + 1 1 的 u n o r d e r e d _ m a p 。 关 于 k u a n g b i n 的 这 份 模 板 ， c y e n d r a 在 他 的 b l o g 里 做 了 详 细 的 解 释 。 s o u r c e f r a m e h o u s e 2 0 1 6 年 1 1 月 4 日 0 C o m m e n t s C a t e g o r i e s : d p u r a l 1 4 7 6 大 意 ： 一 个 M * N ( 1 做 法 ： c [ i ] [ j ] 表 示 组 合 数 c ( i , j ) d p [ r ] [ i ] 表 示 第 r 列 有 i 个 1 的 M * r 的 矩 阵 方 案 数 。 0 后 面 接 1 的 个 数 不 能 超 过 K ， 假 设 选 k 1 个 1 ( k 1 组 合 数 c [ M i ] [ k 1 ] ， 1 后 面 随 便 接 1 ， 选 k 2 个 1 = = > 组 合 数 c [ i ] [ k 2 ] 。 所 以 有 ， d p [ r + 1 ] [ k 1 + k 2 ] + = d p [ r ] [ i ] * ( c [ M i ] [ k 1 ] * c [ i ] [ k 2 ] ) 答 案 的 最 大 值 是 2 ^ 1 6 0 0 ， 要 用 高 精 度 。 用 p y t h o n 的 话 ， 这 个 o ( n ^ 4 ) 的 做 法 就 可 以 通 过 了 。 我 好 奇 这 题 为 啥 分 数 这 么 高 ， g o o g l e 了 一 下 原 来 这 题 卡 o ( n ^ 4 ) ， 有 o ( n ^ 3 ) 的 做 法 。 看 来 p y t h o n 的 高 精 度 实 现 的 效 率 真 的 很 高 。 o ( n ^ 3 ) 的 做 法 也 不 难 。 上 式 中 d p [ r ] [ i ] 向 d p [ r + 1 ] [ k ] 转 移 的 系 数 是 个 定 值 。 用 g [ i ] [ k ] 表 示 某 一 列 有 i 个 1 ， i + 1 列 有 k 个 1 的 转 移 系 数 。 g [ i ] [ k 1 + k 2 ] + = c [ M i ] [ k 1 ] * c [ i ] [ k 2 ] d p [ r + 1 ] [ k ] + = d p [ r ] [ i ] * g [ i ] [ k ] s o u r c e « O l d e r E n t r i e s 搜 索 ： 我 的 新 浪 微 博 近 期 文 章 u r a l 1 4 5 2 u r a l 1 8 3 7 u r a l 1 6 2 7 u r a l 1 7 3 9 u r a l 1 8 9 5 文 章 归 档 2 0 1 9 年 二 月 2 0 1 8 年 九 月 2 0 1 7 年 十 月 2 0 1 6 年 十 二 月 2 0 1 6 年 十 一 月 2 0 1 6 年 十 月 2 0 1 6 年 九 月 2 0 1 6 年 八 月 2 0 1 6 年 七 月 2 0 1 6 年 六 月 2 0 1 6 年 五 月 2 0 1 6 年 二 月 分 类 目 录 d a t a s t r u c t u r e d p g i t g r a p h p y t h o n 近 期 评 论 f r a m e h o u s e 发 表 在 《 u r a l 1 6 2 7 》 I c e H e 发 表 在 《 u r a l 1 6 2 7 》 C o p y r i g h t © 2 0 2 5 . 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